| |||||
Системи бројева
Паралелно са развојем писма, развијали су се и знакови за приказ бројева. Потреба стварања назива и знакова за веће бројеве била је прва околност која је присилила човека на тражење системских поступака. На пример, бројеви 1, 2, 3, 4 могли би се означавати са I, II, III, IV, али је овакав систем немогуће задржати за велике бројеве. Због тога развијени су бројни системи, тј. начини означавања бројева низовима знакова - цифри.
Данас је уобичајен тежински систем са основом 10 и реч је декадном систему бројева. Зашто основа 10? Разлог је анатомске природе, јер човек има десет прстију које је користио као помоћно средство приликом рачунања. У овом систему бројева користе се цифре 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
Рачунари користе бинарни систем бројева, тј. систем бројева са основом 2. Такав систем је најједноствнији јер користи само две цифре, а реч је о цифрама 0 и 1. На овај начин се долази до једноставних електронских склопова за приказ тих цифара.
У рачунарству се употребљава и систем са основом 8. Реч је о окталном систему бројева и он се користи због лаког претварања између тог система и бинарног система. Често се октални систем бројева користи за скраћени приказ бинарног система бројева. овом систему бројева користе се цифре 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
У рачунарству се, поред горе поменутих система бројева, користи и систем бројева са основом 16. Реч је о хексадекадном систему бројева. И овај систем се користи, првенствено због лаког претварања између њега и бинарног система бројева, па се користи за скраћени приказ бинарних бројева. У овом систему бројева користе се цифре 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, Б, Ц, Д, Е и Ф.
1.1 Декадни систем бројева
Декадни систем бројева има основу број 10 и користи цифре 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Свака цифра декадног система бројева има своју тежину која је представљена степеном броја 10. На пример, следећи бројеви могу да се прикажу као:
42 = 4 · 101 +2 · 100 ,
432 = 4 · 102 +3 · 101 +2 · 100 ,
4321 = 4 · 103 +3 · 102 +2 · 101 +1 · 100 ,
43.2 = 4 · 101 +3 · 100 +2 · 10−1 .
1.1.1 Претварање декадног броја у бинарни
Претварање природног декадног броја у бинарни може да се опише следећим поступком:
1. Поделити декадни број бројем 2.
2. Записати остатак дељења (0 или 1).
3. Добијени количник (целобројни део) поделити бројем 2.
4. Записати остатак дељења (0 или 1).
5. Ако количник није 0, вратити се на тачку 3.
Остаци дељења који су записани представљају тражени бинарни број који треба читати обрнуто, тј. задња добијена цифра је најзначајнија цифра, а прва добијена цифра је најмање значајна цифра. На пример, треба претворити декадни број 4310 у бинарни. Поступак је следећи:
|
43 : 2 |
= |
21 → остатак 1 |
|
21 : 2 |
= |
10 → остатак 1 |
|
10 : 2 |
= |
5 → остатак 0 |
|
5 : 2 |
= |
2 → остатак 1 |
|
2 : 2 |
= |
1 → остатак 0 |
|
1 : 2 |
= |
0 → остатак 1 |
|
4310 |
= |
1010112 |
Ево још два примера. Треба претворити бројеве 2310 и 5710 у бинарне. Поступак за претварање броја 2310 у бинарни је следећи:
|
23 : 2 |
= |
11 → остатак 1 |
|
11 : 2 |
= |
5 → остатак 1 |
|
5 : 2 |
= |
2 → остатак 1 |
|
2 : 2 |
= |
1 → остатак 0 |
|
1 : 2 |
= |
0 → остатак 1 |
|
2310 |
= |
101112 |
Поступак за претварање броја 5710 у бинарни је следећи:
|
57 : 2 |
= |
28 → остатак 1 |
|
28 : 2 |
= |
14 → остатак 0 |
|
14 : 2 |
= |
7 → остатак 0 |
|
7 : 2 |
= |
3 → остатак 1 |
|
3 : 2 |
= |
1 → остатак 1 |
|
1 : 2 |
= |
0 → остатак 1 |
|
5710 |
= |
1110012 |
1.2 Бинарни систем бројева
Бинарни систем бројева има основу број 2 и користи цифре 0 и 1. Свака цифра бинарног система бројева има своју тежину која је представљена степеном броја 2. Бинарна цифра се назива бит.
|
210 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
21 |
20 |
|
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
СВАКИ БРОЈ СТЕПЕНОВАН СА 0 ЈЕ 1 → X0=1
1.2.1 Претварање бинарног броја у декадни
Процедура за претварање бинарног броја 1011012 у декадни је следећа:
1011012 = 1 · 25 +0 · 24 +1 · 23 +1 · 22 +0 · 21 +1 · 20 = 32 + 0+8+4+0+1 = 4510
Ево још два примера. Треба претворити бројеве 11002 и 1001011102 у декадне. Поступак за претварање броја 11002 у декадни је следећи:
11002 = 1 · 23 +1 · 22 +0 · 21 +0 · 20 = 8 +4+0+1 = 1210
На местима где се налазе нуле, подвучене нуле у броју, не морамо те степене ни писти ни сабрати нпр. број 1001011102 претварамо у декадни на следећи начин:
1001011102 = 1 · 28 +1 · 25 + +1 · 23 +1 · 22 +1 · 21 = 256 + 32+8+4+2 = 30210